¿Cuál es la forma (a lo largo del plano, no arriba-abajo) de las órbitas estelares en galaxias espirales planas

Lo que quiero decir es que, con una masa central, las órbitas son relativamente simples, pero las órbitas alrededor de la galaxia son diferentes, en esencia a medida que la estrella orbita a través del halo de materia oscura, cuanto más se aleja del centro de la galaxia, mayor es el campo gravitacional. , mientras que las órbitas tienden a disminuir a medida que la energía cinética se convierte en energía potencial, las estrellas están orbitando efectivamente alrededor de más masa cuanto más lejos están del centro de la galaxia, lo que podría acelerarlas. La regla de áreas iguales sobre tiempo igual ya no parece aplicarse.

Entonces, ignorando el movimiento hacia arriba y hacia abajo en relación con el plano de la galaxia, ¿existe una forma común para las órbitas galácticas? ¿Hay una fórmula? Creo que la excentricidad aún se aplicaría, pero no creo que las órbitas sean elipses, por lo que sería un tipo diferente de excentricidad. ¿Estas órbitas tenderían a circularizarse (en una nube ideal de materia oscura, ignorando las perturbaciones? Obviamente, las perturbaciones conducirían, en un sentido práctico, a órbitas impredecibles, no a fórmulas ordenadas y ordenadas. El campo magnético de la Vía Láctea también juega un papel en la formación de sus brazos espirales, pero estoy preguntando, en un sentido matemático ideal, qué forma tendrían las órbitas a través de una galaxia, desde un punto de vista 2D, ignorando el movimiento hacia arriba y hacia abajo.

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Se me ocurrió que la pregunta podría ser hecha simplemente por un agujero negro en efecto "orbitando" a través de un planeta o incluso un neutrino de baja velocidad (si hay neutrinos de baja velocidad). La órbita interna de un planeta es bastante diferente de la órbita de Kepler, porque la gravedad aumenta a medida que el objeto se aleja del centro. La órbita general aún podría ser algo así como una elipse, pero las leyes para dicha órbita serían diferentes, verías la aceleración más alta en los puntos más alejados del centro, aunque probablemente aún verías la velocidad más alta en el punto más cercano al centrar.

De todos modos, tengo curiosidad sobre si esa forma se ha resuelto y cómo se ve.

Esta es una pregunta interesante y, a menudo, las preguntas interesantes no pueden responderse fácilmente con ningún conocimiento actual, pero esta puede responderse hasta cierto punto. Voy a repasar los conceptos básicos de la teoría orbital y describir cómo pueden aplicarse a las galaxias y cómo difiere de los sistemas keplerianos. Debe tener una comprensión razonable de la física newtoniana (después de todo, las órbitas derivan precisamente de las leyes de Newton) y un fuerte conocimiento de las matemáticas. Si no tiene estas cosas, salte al final de cada sección donde trataré de resumir los puntos importantes detrás de las matemáticas.

Una nota rápida sobre notación matemática que usaré. Un punto sobre un símbolo indica una derivada del tiempo (por ejemplo, ) y los símbolos en negrita sin cursiva son cantidades vectoriales (por ejemplo, ). Vamos a ir al grano.$\dot{a}$$\bf F$

La ecuación orbital del movimiento

Considere una masa como una posición y moviéndose con un movimiento descrito por . Esta masa experimenta una fuerza que es solo una función de la distancia radial, , desde el centro del sistema de coordenadas. El objetivo aquí es determinar la ecuación de movimiento que puede describir la órbita de la masa debido a esta fuerza. Esta ecuación se puede usar para resolver . Según la ley de Newton, la ecuación de movimiento puede definirse inicialmente como$m$$\bf r$$\bf \dot{r}$$\textbf{F}(r)$$r$$r(\theta)$

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Tenga en cuenta que en este caso es simplemente el componente radial de y es el ángulo acimutal del cuerpo en un sistema de coordenadas esféricas. Te lo dejo a ti para determinar cómo dividir la aceleración en los dos componentes anteriores, bajo el sistema de coordenadas apropiado. Intentemos eliminar nuestra dependencia para que solo tengamos una función de . Esto se puede lograr utilizando la conservación del momento angular. El momento angular por unidad de masa viene dado por para que . Esto da$r$$\bf r$$\theta$$\theta$$r$$\ell = r^2\dot{\theta}$$\dot{\theta} = \ell/r^2$

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Esta es ahora una ecuación diferencial que nos permite resolver , pero queremos por lo que debemos hacer alguna conversión. Vuelva a parametrizar definiendo (la razón se aclarará en un momento) y determinando en términos de y .$r(t)$$r(\theta)$$u \equiv 1/r$$\ddot{r}$$u$$\theta$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Tenga en cuenta la sustitución de . Ahora diferencie nuevamente para determinar .$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$$\ddot{r}$

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Poniendo esto en nuestra expresión para la ecuación de movimiento y haciendo la transformación que finalmente da$r=1/u$

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Escribiendo en una forma más conveniente finalmente llegamos a

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

Recuerda que es la masa del cuerpo, , es el momento angular por unidad de masa, es una fuerza puramente radial que actúa sobre el cuerpo, y y son las posiciones de coordenadas radiales y azimutales de la masa.$m$$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$$\ell$$\bf F$$r$$\theta$

Punchline : El resultado final aquí es una ecuación general de movimiento para un cuerpo en órbita de acuerdo con alguna fuerza arbitraria. Esto podría ser gravedad, electromagnética, una fuerza de resorte o cualquier otra cosa que decidamos. Se deriva a propósito bajo suposiciones generales y no restrictivas y, con suerte, se puede ver que se puede usar para comprender el movimiento orbital de una estrella que orbita en una galaxia de disco. El objetivo con esta ecuación debe ser conectar su fuerza (lo que sea que sea) y resolver para . A partir de ahí, es fácil determinar .$u(\theta)$$r(\theta)$

Movimiento Kepleriano

Antes de comenzar a mirar el movimiento orbital en una galaxia, veamos el movimiento kepleriano estándar para que tengamos algo con lo que compararnos. El movimiento kepleriano se deriva de suponer que nuestra masa está orbitando una sola masa puntual y bajo la influencia de la gravedad simple. En ese caso, podemos escribir nuestra fuerza como y, por lo tanto, , donde es una constante, definida aquí por simplicidad matemática. Tenga en cuenta que es la constante gravitacional. La ecuación orbital general, bajo esta fuerza, ahora se convierte en$m$$M$$F(r) = kr^{-2}$$F(1/u) = ku^2$$k\equiv GMm$$G$

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Esta es una ecuación diferencial estándar no homogénea de segundo orden con una función de fuerza constante. Si conoce su ecualizador diferencial, debe conocer la solución casi de inmediato.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

En esta ecuación, es una constante desconocida, y representa el ángulo inicial de la órbita, que arbitrariamente podemos elegir que sea cero. Nuestro objetivo final es obtener así que hagamos eso. Sin embargo, voy a hacer algunos pasos en uno y dejar que trabajes en las matemáticas que intervienen. para y el momento angular como donde es la masa reducida de nuestro sistema . También declararé, sin pruebas, que donde es la excentricidad de la órbita.$A$$\theta_0$$r(\theta)$$k = GMm$$L = \ell\mu$$\mu$$e = A(m\ell^2/k)$$e$

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

Remate : hemos encontrado una ecuación final que representa el movimiento orbital de una masa bajo la influencia de una gravedad debido a un punto similar a la masa . Si conoce sus cosas, verá que esta ecuación describe con precisión las secciones cónicas, dependiendo del valor de . Si , obtienes movimiento circular (ya que convierte en una constante). Si , obtienes movimiento elíptico, es movimiento parabólico y es hiperbólico.$M$$e$$e = 0$$r(\theta)$$0 < e <1$$e=1$$e > 1$

Como era de esperar, el movimiento kepleriano (es decir, tener una fuerza central tal que ) dio como resultado cónicas, que es precisamente la primera ley de Kepler. Las leyes segunda y tercera de Kepler se derivan más o menos de los mismos supuestos. Es lógico entonces, que cualquier sistema donde no cumpla con ninguna de las leyes de Kepler. Las órbitas no son cónicas perfectas (por ejemplo, elipses, círculos, etc.), no barren áreas iguales en tiempos iguales, y el estándar ciertamente no se aplica.$F\propto r^{-2}$$F \not \propto r^{-2}$$P^2 \propto a^3$

Movimiento orbital en una galaxia

Su pregunta describe correctamente la situación de las estrellas (o cualquier cosa realmente) que orbitan en una galaxia. Las estrellas no están orbitando masas centrales, puntiagudas. Están incrustados dentro de la materia bariónica y oscura que comprende la galaxia y están orbitando a través de ella. Es un concepto bien conocido en física que las distribuciones de masa esféricamente simétricas no tienen una atracción gravitacional neta en los objetos interiores a esa distribución, lo que significa que para las estrellas en una galaxia, la masa que afecta a su órbita es la masa interior a su radio. Si ese radio cambia, ¡la masa cambia!

La fuerza central sobre nuestra estrella seguirá siendo la gravedad, pero la masa que actúe sobre ella será todo el interior de la masa hasta cierto radio, denotado por . Podemos ver que . Si queremos determinar la fuerza que actúa sobre nuestra estrella (y, por lo tanto, la órbita exacta, a través de la ecuación diferencial anterior), primero tenemos que averiguar cuál es la masa interior a cierto radio. Esto se puede lograr utilizando la ecuación de continuidad de masa .$M_r$$F(r) = GM_r(r)m/r^2$

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

Básicamente, puede calcular todo el interior de la masa en integrando toda la densidad de masa en función de . Aquí, por supuesto, necesita una buena ecuación para . Un perfil de densidad simple pero físicamente poco realista es la Esfera Isotérmica Singular (SIS), mientras que una ecuación más realista pero matemáticamente compleja podría ser el perfil NFW o el perfil de Einasto .$r$$r$$\rho(r)$

Ahora he presentado todos los pasos que necesitas para descubrir el movimiento orbital en una galaxia, pero tengo que decir que no es bonito. Sin embargo, podemos ver parte del caso más simple, el del SIS.

Esfera isotérmica única

Para la esfera isotérmica individual, tienes que , donde es la velocidad de rotación de tu estrella. Este perfil se basa en un hecho crucial de las galaxias de disco su perfil de rotación es plano! Esto estaba bien establecido, por ejemplo, por Ruben et al. 1978 . He reproducido una figura de este documento a continuación que muestra la curva de rotación para varias galaxias. ¡El punto importante aquí es que esto muestra que es constante y no depende del radio! (Asumiendo que no estamos cerca del bulto o centro galáctico. Esa es una bestia completamente diferente).$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$$v$$-$$v$

Con esta información crucial, podemos resolver integrando (que te dejo a ti). El resultado es que$M_r$$\rho(r)$

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Esto significa que tu fuerza está dada por

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

Puede ver aquí que, a diferencia del caso kepleriano, nuestra fuerza es proporcional a lugar de . Puede hacer este proceso con otros perfiles de densidad (como el NFW o Einasto I enumerados anteriormente), pero terminará con el mismo resultado.$r^{-1}$$r^{-2}$

Si está tan inclinado, podría optar por conectar esto a la ecuación de movimiento orbital anterior y resolverlo, pero ahora está trabajando con una ecuación diferencial no lineal y las cosas pueden volverse desordenadas rápidamente.

Punchline : No estoy seguro de si esto realmente responde a su pregunta o no. Te conduje parcialmente por la madriguera del conejo, pero espero que puedas apreciar lo complejo que se vuelve rápidamente. Todo el trabajo anterior utilizaba suposiciones y simplificaciones generales. Supongo que la respuesta breve a todo esto es que las estrellas orbitan galaxias en una órbita compleja pero cerrada que no se describe fácilmente con precisión (incluso para nuestra propia galaxia) a través de ecuaciones calculables. Podemos aproximarnos y hacer nuestro mejor esfuerzo para trabajar con las matemáticas, pero al final es una aproximación. Sin embargo, en las aproximaciones más crudas, también puede considerar que una órbita como nuestra estrella sea circular y termine con ella.