¿Pueden las computadoras digitales entender el infinito?

Como ser humano, podemos pensar en el infinito. En principio, si tenemos suficientes recursos (tiempo, etc.), podemos contar infinitas cosas (incluidas las abstractas, como números o reales).

Por ejemplo, al menos, podemos tener en cuenta los enteros. Podemos pensar, principalmente, y "comprender" infinitos números que se muestran en la pantalla. Hoy en día, estamos tratando de diseñar inteligencia artificial que sea capaz al menos de ser humano. Sin embargo, estoy atrapado en el infinito. Trato de encontrar una manera de enseñarle a un modelo (profundo o no) a comprender el infinito. Defino "comprensión" en un enfoque funcional. Por ejemplo, si una computadora puede diferenciar 10 números o cosas diferentes, significa que realmente entiende estas cosas diferentes de alguna manera. Este es el enfoque directo básico para la "comprensión".

Como mencioné antes, los humanos entienden el infinito porque son capaces, al menos, de contar enteros infinitos, en principio. Desde este punto de vista, si quiero crear un modelo, el modelo es en realidad una función en sentido abstracto, este modelo debe diferenciar infinitos números. Dado que las computadoras son máquinas digitales que tienen una capacidad limitada para modelar una función tan infinita, ¿cómo puedo crear un modelo que diferencie infinitos enteros?

Por ejemplo, podemos tomar un modelo de visión de aprendizaje profundo que reconoce los números en la tarjeta. Este modelo debe asignar un número a cada tarjeta diferente para diferenciar cada número entero. Dado que existen infinitos números enteros, ¿cómo puede el modelo asignar un número diferente a cada entero, como un ser humano, en las computadoras digitales? Si no puede diferenciar cosas infinitas, ¿cómo entiende el infinito?

Si tomo en cuenta los números reales, el problema se vuelve mucho más difícil.

¿Cuál es el punto que me falta? ¿Hay algún recurso que se centre en el tema?

Creo que este es un concepto erróneo bastante común sobre la inteligencia artificial y las computadoras, especialmente entre los laicos. Hay varias cosas para desempaquetar aquí.

Supongamos que hay algo especial sobre el infinito (o sobre conceptos continuos) que los hace especialmente difíciles para la IA. Para que esto sea cierto, ambos deben ser el caso de que los humanos puedan entender estos conceptos mientras permanecen ajenos a las máquinas, y que existen otros conceptos que no son como el infinito que tanto los humanos como las máquinas pueden entender. Lo que voy a mostrar en esta respuesta es que desear ambas cosas lleva a una contradicción.

La raíz de este malentendido es el problema de lo que significa entender . La comprensión es un término vago en la vida cotidiana, y esa naturaleza vaga contribuye a este concepto erróneo.

Si entendemos que queremos decir que una computadora tiene la experiencia consciente de un concepto, entonces quedamos atrapados rápidamente en la metafísica. Existe un debate de larga duración y esencialmente abierto sobre si las computadoras pueden "entender" algo en este sentido, e incluso a veces, ¡sobre si los humanos pueden! También podría preguntar si una computadora puede "entender" que 2 + 2 = 4. Por lo tanto, si hay algo especial en la comprensión del infinito, no puede relacionarse con la "comprensión" en el sentido de la experiencia subjetiva.

Entonces, supongamos que por "entender", tenemos en mente una definición más específica. Algo que haría que un concepto como el infinito sea más complicado de "entender" para una computadora que un concepto como la aritmética. Nuestra definición más concreta de "comprensión" debe relacionarse con alguna capacidad o habilidad objetivamente medible relacionada con el concepto (de lo contrario, estamos de vuelta en la tierra de la experiencia subjetiva). Consideremos qué capacidad o habilidad podríamos elegir que haría del infinito un concepto especial, entendido por los humanos y no por las máquinas, a diferencia de la aritmética.

Podríamos decir que una computadora (o una persona) entiende un concepto si puede proporcionar una definición correcta de ese concepto. Sin embargo, si incluso un humano comprende el infinito según esta definición, entonces debería ser fácil para ellos escribir la definición. Una vez que se escribe la definición, un programa de computadora puede generarla. Ahora la computadora "comprende" el infinito también. Esta definición no funciona para nuestros propósitos.

Podríamos decir que una entidad comprende un concepto si puede aplicar el concepto correctamente. De nuevo, si incluso una persona entiende cómo aplicar el concepto de infinito correctamente, solo necesitamos registrar las reglas que están usando para razonar sobre el concepto, y podemos escribir un programa que reproduzca el comportamiento de este sistema de reglas. Infinity en realidad está muy bien caracterizado como un concepto, capturado en ideas como Aleph Numbers . No es poco práctico codificar estos sistemas de reglas en una computadora, al menos hasta el nivel que cualquier ser humano los entienda. Por lo tanto, las computadoras también pueden "comprender" el infinito hasta el mismo nivel de comprensión que los humanos según esta definición. Entonces esta definición no funciona para nuestros propósitos.

Podríamos decir que una entidad "entiende" un concepto si puede relacionar lógicamente ese concepto con nuevas ideas arbitrarias. Esta es probablemente la definición más fuerte, pero tendríamos que tener mucho cuidado aquí: muy pocos humanos (proporcionalmente) tienen una comprensión profunda de un concepto como el infinito. Incluso menos pueden relacionarlo fácilmente con nuevos conceptos arbitrarios. Además, algoritmos como el Solucionador de problemas generales pueden, en principio, derivar cualquier consecuencia lógica de un conjunto de hechos dado, con el tiempo suficiente. Quizás bajo esta definición las computadoras entienden el infinito mejor que la mayoría de los humanos, y ciertamente no hay razón para suponer que nuestros algoritmos existentes no mejorarán aún más esta capacidad con el tiempo. Esta definición tampoco parece cumplir con nuestros requisitos.

Finalmente, podríamos decir que una entidad "entiende" un concepto si puede generar ejemplos de él. Por ejemplo, puedo generar ejemplos de problemas en aritmética y sus soluciones. Según esta definición, probablemente no "entienda" el infinito, porque en realidad no puedo señalar o crear ninguna cosa concreta en el mundo real que sea definitivamente infinita. No puedo, por ejemplo, escribir una lista infinitamente larga de números, simplemente fórmulas que expresen formas de crear listas cada vez más largas invirtiendo cada vez más esfuerzo en escribirlas. Una computadora debería ser al menos tan buena como yo en esto. Esta definición tampoco funciona.

Esta no es una lista exhaustiva de posibles definiciones de "comprende", pero hemos cubierto "comprende" tal como lo entiendo bastante bien. Bajo cada definición de comprensión, no hay nada especial sobre el infinito que lo separe de otros conceptos matemáticos.

Entonces, el resultado es que, o decides que una computadora no "comprende" nada, o no hay una razón particularmente buena para suponer que el infinito es más difícil de entender que otros conceptos lógicos. Si no está de acuerdo, es necesario proporcionar una definición concreta de "comprensión" que hace el entendimiento separada de la infinidad de otros conceptos, y que no depende de las experiencias subjetivas (a menos que desee reclamar sus particulares puntos de vista metafísicos son universalmente correcta, pero eso es un argumento difícil de hacer).

Infinity tiene una especie de estado semi-místico entre el público lego, pero en realidad es como cualquier otro sistema matemático de reglas: si podemos escribir las reglas por las cuales opera el infinito, una computadora puede hacerlas tan bien como una lata humana ( o mejor).

Creo que tu premisa es defectuosa.

Parece suponer que "comprender" (*) infinitos requiere una capacidad de procesamiento infinita, e implica que los humanos tienen exactamente eso, ya que los presenta como lo opuesto a las computadoras limitadas y finitas.

Pero los humanos también tienen una capacidad de procesamiento finita. Somos seres construidos con un número finito de partículas elementales, formando un número finito de átomos, formando un número finito de células nerviosas. Si podemos, de una forma u otra, "entender" infinitos, entonces seguramente también se pueden construir computadoras finitas que puedan hacerlo.

(* Solía ​​"entender" entre comillas, porque no quiero entrar en, por ejemplo, la definición de sensibilidad, etc. Tampoco creo que sea importante en relación con esta pregunta).

Como ser humano, podemos pensar en el infinito. En principio, si tenemos suficientes recursos (tiempo, etc.), podemos contar infinitas cosas (incluidas las abstractas, como números o reales).

Aquí, en realidad lo dices en voz alta. "Con suficientes recursos". ¿No se aplicaría lo mismo a las computadoras?

Mientras que los humanos pueden , por ejemplo, usar infinitos al calcular límites, etc. y pueden pensar en la idea de que algo se agranda arbitrariamente, solo podemos hacerlo en abstracto, no en el sentido de que sean capaces de procesar números arbitrariamente grandes. Las mismas reglas que utilizamos para las matemáticas también se pueden enseñar a una computadora.

TL; DR : Las sutilezas del infinito se hacen evidentes en la noción de ilimitación. La ilimitación es finitamente definible. Las "cosas infinitas" son realmente cosas con naturalezas ilimitadas. El infinito se entiende mejor no como una cosa sino como un concepto. Los seres humanos poseen teóricamente habilidades ilimitadas, no habilidades infinitas (por ejemplo, contar hasta cualquier número arbitrario en lugar de "contar hasta el infinito"). Se puede hacer que una máquina reconozca la ilimitación.

Por el agujero del conejo otra vez

¿Cómo proceder? Comencemos con los "límites".

Limitaciones

Nuestros cerebros no son infinitos (para que no creas en alguna metafísica). Entonces, no "pensamos en el infinito". Por lo tanto, lo que pretendemos como infinito se entiende mejor como un concepto mental finito contra el cual podemos "comparar" otros conceptos.

Además, no podemos "contar enteros infinitos". Aquí hay algo sutil que es muy importante señalar:

Nuestro concepto de cantidad / número es ilimitado . Es decir, para cualquier valor finito, tenemos una forma finita / concreta o produciendo otro valor que es estrictamente mayor / menor. Esto será así suponiendo finito de tiempo que sólo se podía contar finitos cantidades.

No se le puede "dar tiempo infinito" para "contar todos los números", esto implicaría un "acabado" que contradice directamente la noción de infinito. A menos que creas que los humanos tienen propiedades metafísicas que les permiten encarnar "consistentemente" una paradoja. Además, cómo respondería: ¿Cuál fue el último número que contó? Sin "último número" nunca hay un "final" y, por lo tanto, nunca un "final" para su conteo. Es decir, nunca se puede "tener suficiente" tiempo / recursos para "contar hasta el infinito".

Creo que lo que quieres decir es que podemos comprender la noción de biyección entre conjuntos infinitos. Pero esta noción es una construcción lógica (es decir, es una forma finita de discutir lo que entendemos que es infinito).

Sin embargo, lo que realmente estamos haciendo es: dentro de nuestros límites, estamos hablando de nuestros límites y, cuando sea necesario, podemos expandir nuestros límites (en una cantidad finita). E incluso podemos hablar sobre la naturaleza de expandir nuestros límites. Así:

Sin límites

Un proceso / cosa / idea / objeto se considera ilimitado si, dada una medida de su cantidad / volumen / existencia, podemos producir de forma finita una "extensión" de ese objeto que tiene una medida que consideramos "más grande" (o "más pequeña" en el caso de infinitesimales) que la medida anterior y que este proceso de extensión se puede aplicar al objeto naciente (es decir, el proceso es recursivo).

Caso canónico número uno: los números naturales

Además, nuestra noción de infinito evita cualquier "at-ness" o "upon-ness" hasta el infinito. Es decir, uno nunca "llega" al infinito ni nunca "tiene" el infinito. Más bien, uno procede sin límites.

Entonces, ¿cómo conceptualizamos el infinito?

infinito

Parece que "infinito" como palabra se malinterpreta para significar que existe una cosa llamada "infinito" en oposición a un concepto llamado "infinito". Vamos a aplastar átomos con la palabra:

Infinito: ilimitado o infinito en espacio, extensión o tamaño; imposible de medir o calcular.

in: un prefijo de origen latino, que corresponde al inglés un-, que tiene una fuerza negativa o privativa, utilizado libremente como formativo inglés, especialmente de adjetivos y sus derivados y de sustantivos (falta de atención; indefendible; económico; inorgánico; invariable). ( fuente )

Finito: tiene límites o límites.

Entonces, finito es realmente no finito, que no tiene límites . Pero podemos ser más precisos aquí porque todos podemos estar de acuerdo en que los números naturales son infinitos, pero cualquier número natural dado es finito. Entonces, ¿qué da? Simple: los números naturales satisfacen nuestro criterio de ilimitación y por eso decimos "los números naturales son infinitos".

Es decir, "infinito" es un concepto. Un objeto / cosa / idea se considera infinito si posee una propiedad / faceta que no tiene límites. Como antes vimos que la ilimitación es finitamente definible.

Por lo tanto, si el agente del que habla fue programado lo suficientemente bien como para detectar el patrón en los números en las tarjetas y que todos los números provienen del mismo conjunto, podría deducir la naturaleza ilimitada de la secuencia y, por lo tanto, definir el conjunto de todos los números como infinito, simplemente porque el conjunto no tiene límite superior . Es decir, la progresión de los números naturales es ilimitada y, por lo tanto, definitivamente infinita.

Por lo tanto, para mí, el infinito se entiende mejor como un concepto general para identificar cuándo los procesos / cosas / ideas / objetos poseen una naturaleza ilimitada. Es decir, el infinito no es independiente de lo ilimitado. Intenta definir el infinito sin compararlo con cosas finitas o los límites de esas cosas finitas.

Conclusión

Parece factible que una máquina pueda ser programada para representar y detectar casos de falta de límite o cuando sea admisible asumir la falta de límite.

En Haskell, puede escribir:

print [1..]

e imprimirá la secuencia infinita de números, comenzando con:

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,227,228,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282,283,284,285,286,287,288,289,290,291,292,293,294,295,296,297,298,299,300,301,302,303,304,305,306,307,308,309,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362,363,364,365,366,367,368,369,370,371,372,373,374,375,376,377,378,379,380,381,382,383,384,385,386,387,388,389,390,391,392,393,394,395,396,397,398,399,400,401,402,403,404,405,406,407,408,409,410,411,412,413,414,415,416,417,418,419,420,421,422,423,424,425,426,427,428,429,430,431,432,433,434,435,436,437,438,439,440,441,442,443,444,445,446,447,448,449,450,451,452,453,454,455,456,457,458,459,460,461,462,463,464,465,466,467,468,469,470,471,472,473,474,475,476,477,478,479,480,481,482,483,484,485,486,487,488,489,490,491,492,493,494,495,496,497,498,499,500,501,502,503,504,505,506,507,508,509,510,511,512,513,514,515,516,517,518,519,520,521,522,523,524,525,526,527,528,529,530,531,532,533,534,535,536,537,538,539,540,541,542,543,544,545,546,547,548,549,550,551,552,553,554,555,556,557,558,559,560,561,562,563,564,565,566,567,568,569,570,571,572,573,574,575,576,577,578,579,580,581,582,583,584,585,586,587,588,589,590,591,592,593,594,595,596,597,598,599,600,601,602,603,604,605,606,607,608,609,610,611,612,613,614,615,616,617,618,619,620,621,622,623,624,625,626,627,628,629,630,631,632,633,634,635,636,637,638,639,640,641,642,643,644,645,646,647,648,649,650,651,652,653,654,655,656,657,658,659,660,661,662,663,664,665,666,667,668,669,670,671,672,673,674,675,676,677,678,679,680,681,682,683,684,685,686,687,688,689,690,691,692,693,694,695,696,697,698,699,700,701,702,703,704,705,706,707,708,709,710,711,712,713,714,715,716,717,718,719,720,721,722,723,724,725,726,727,728,729,730,731,732,733,734,735,736,737,738,739,740,741,742,743,744,745,746,747,748,749,750,751,752,753,754,755,756,757,758,759,760,761,762,763,764,765,766,767,768,769,770,771,772,773,774,775,776,777,778,779,780,781,782,783,784,785,786,787,788,789,790,791,792,793,794,795,

Hará esto hasta que su consola se quede sin memoria.

Probemos algo más interesante.

double x = x * 2
print (map double [1..])

Y aquí está el comienzo de la salida:

[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100,102,104,106,108,110,112,114,116,118,120,122,124,126,128,130,132,134,136,138,140,142,144,146,148,150,152,154,156,158,160,162,164,166,168,170,172,174,176,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228,230,232,234,236,238,240,242,244,246,248,250,252,254,256,258,260,262,264,266,268,270,272,274,276,278,280,282,284,286,288,290,292,294,296,298,300,302,304,306,308,310,312,314,316,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,338,340,342,344,346,348,350,352,354,356,358,360,362,364,366,368,370,372,374,376,378,380,382,384,386,388,390,392

Estos ejemplos muestran computación infinita. De hecho, puede mantener estructuras de datos infinitas en Haskell, porque Haskell tiene la noción de no rigor : puede hacer cálculos en entidades que aún no se han calculado por completo. En otras palabras, no tiene que calcular completamente una entidad infinita para manipular esa entidad en Haskell.

Reducción al absurdo.

Creo que se puede decir que los humanos entienden el infinito ya que al menos Georg Cantor porque podemos reconocer diferentes tipos de infinitos (principalmente contables versus incontables) a través del concepto de cardinalidad .

Específicamente, un conjunto es infinitamente contable si se puede asignar a los números naturales , es decir, hay una correspondencia 1 a 1 entre los elementos de conjuntos infinitamente contables. El conjunto de todos los reales es incontable, como lo es el conjunto de todas las combinaciones de números naturales, porque siempre habrá más combinaciones que números naturales donde n> 2, lo que resulta en un conjunto con mayor cardinalidad. (Las primeras pruebas formales de incontabilidad se pueden encontrar en Cantor, y es tema de Filosofía de la Matemática ).

La comprensión del infinito implica la lógica en lugar de la aritmética porque no podemos expresar, por ejemplo, todos los decimales de un número trascendental , solo usamos aproximaciones. La lógica es una capacidad fundamental de lo que pensamos como computadoras.

• $\pi$

"Sin fin" es una definición de infinito, con el conjunto de números naturales como ejemplo (hay un número mínimo, 1, pero no el mayor).

Intractabilidad vs. Infinito

Fuera del caso especial de los bucles infinitos, me pregunto si una IA está más orientada a la intratabilidad computacional que al infinito.

Se dice que un problema es intratable si no hay suficiente tiempo y espacio para representarlo por completo, y esto puede extenderse a muchos números reales.

$\pi$

¿Asumiría la IA que tal número es infinito o simplemente intratable? El último caso es concreto en lugar de abstracto: puede terminar el cálculo o no.

Esto lleva al problema de detención .

• La prueba de Turing de que no puede existir un algoritmo general para resolver el problema de detención para todos los posibles pares de entrada de programa podría tomarse como una indicación de que un algoritmo basado en el modelo de computación de Turing-Church no puede tener una comprensión perfecta del infinito.

Si surgiera un modelo computacional alternativo que pudiera resolver el problema de detención, se podría argumentar que un algoritmo podría tener una comprensión perfecta, o al menos demostrar una comprensión comparable a la de los humanos.

(Hay un resumen en la parte inferior para aquellos que son demasiado vagos o presionados por el tiempo para leerlo todo).

Lamentablemente, para responder a esta pregunta, principalmente deconstruiré las diversas premisas.

Como mencioné antes, los humanos entienden el infinito porque son capaces, al menos, de contar enteros infinitos, en principio.

No estoy de acuerdo con la premisa de que los humanos realmente podrían contar hasta el infinito. Para hacerlo, dicho humano necesitaría una cantidad infinita de tiempo, una cantidad infinita de memoria (como una máquina de Turing) y, lo más importante, una cantidad infinita de paciencia: en mi experiencia, la mayoría de los humanos se aburren incluso antes de contar hasta 1,000.

Parte del problema con esta premisa es que el infinito en realidad no es un número, es un concepto que expresa una cantidad ilimitada de 'cosas'. Dichas 'cosas' pueden ser cualquier cosa: enteros, segundos, lolcats, el punto importante es el hecho de que esas cosas no son finitas.

Consulte esta pregunta SE relevante para obtener más detalles: /math/260876/what-exactly-is-infinity

Para decirlo de otra manera: si te preguntara "¿qué número viene antes del infinito?" ¿Cuál sería su respuesta? Este hipotético superhumano tendría que contar hasta ese número antes de poder contar el infinito. Y tendrían que saber el número antes de eso primero, y el anterior, y el anterior ...

Esperemos que esto demuestre por qué el humano no podría contar hasta el infinito, porque el infinito no existe al final de la recta numérica, es el concepto que explica que la recta numérica no tiene fin. Ni el hombre ni la máquina pueden realmente contarlo, incluso con tiempo infinito y memoria infinita.

Por ejemplo, si una computadora puede diferenciar 10 números o cosas diferentes, significa que realmente comprende estas cosas diferentes de alguna manera.

Ser capaz de 'diferenciar' entre 10 cosas diferentes no implica la comprensión de esas 10 cosas.

Un experimento de pensamiento bien conocido que cuestiona la idea de lo que significa 'entender' es el experimento de la Sala China de John Searle :

Imagine un hablante nativo de inglés que no sabe chino encerrado en una habitación llena de cajas de símbolos chinos (una base de datos) junto con un libro de instrucciones para manipular los símbolos (el programa). Imagine que las personas fuera de la sala envían otros símbolos chinos que, desconocidos para la persona en la sala, son preguntas en chino (la entrada). E imagine que, siguiendo las instrucciones del programa, el hombre de la sala puede repartir símbolos chinos que son respuestas correctas a las preguntas (el resultado). El programa permite que la persona en la sala pase la prueba de Turing para entender chino, pero no entiende una palabra de chino.

El argumento es el siguiente: si el hombre en la sala no entiende chino sobre la base de la implementación del programa apropiado para entender chino, entonces tampoco lo hace ninguna otra computadora digital únicamente porque esa computadora no tiene nada El hombre no tiene.

Lo que hay que sacar de este experimento es que la capacidad de procesar símbolos no implica que uno realmente entienda esos símbolos. Muchas computadoras procesan idiomas naturales todos los días en forma de texto (caracteres codificados como enteros, generalmente en una codificación basada en Unicode como UTF-8), pero no necesariamente entienden esos idiomas. De una manera más simple Efectivamente, todas las computadoras pueden sumar dos números, pero no necesariamente entienden lo que están haciendo.

En otras palabras, incluso en el 'modelo de visión de aprendizaje profundo', la computadora posiblemente no entiende los números (o 'símbolos') que se muestran, es simplemente la capacidad del algoritmo para simular la inteligencia lo que le permite clasificarse como inteligencia artificial .

Por ejemplo, podemos tomar un modelo de visión de aprendizaje profundo que reconoce los números en la tarjeta. Este modelo debe asignar un número a cada tarjeta diferente para diferenciar cada número entero. Dado que existen infinitos números enteros, ¿cómo puede el modelo asignar un número diferente a cada entero, como un ser humano, en las computadoras digitales? Si no puede diferenciar cosas infinitas, ¿cómo entiende el infinito?

Si realizara la misma prueba de tarjeta en un humano y aumentara continuamente la cantidad de tarjetas utilizadas, eventualmente un humano no podría realizar un seguimiento de todas ellas debido a la falta de memoria. Una computadora experimentaría el mismo problema, pero en teoría podría superar al humano.

Así que ahora te pregunto, ¿puede un humano realmente diferenciar cosas infinitas? Personalmente, sospecho que la respuesta es no, porque todos los humanos tienen memoria limitada y, sin embargo, estoy de acuerdo en que los humanos probablemente puedan entender el infinito hasta cierto punto (algunos pueden hacerlo mejor que otros).

Como tal, creo que la pregunta "Si no puede diferenciar cosas infinitas, ¿cómo entiende el infinito?" tiene una premisa errónea: ser capaz de diferenciar cosas infinitas no es un requisito previo para comprender el concepto de infinito.

Resumen:

Esencialmente, su pregunta depende de lo que significa "entender" algo.

Las computadoras ciertamente pueden representar el infinito, la especificación de punto flotante IEEE define el infinito positivo y negativo, y todos los procesadores modernos son capaces de procesar puntos flotantes (ya sea en hardware o mediante software).

Si las IA alguna vez son capaces de comprender realmente las cosas, teóricamente podrían comprender el concepto de infinito, pero estamos muy lejos de poder probar definitivamente esto de cualquier manera, y tendríamos que llegar a un consenso sobre lo que significa "entender" algo primero.

Creo firmemente que las computadoras digitales no pueden entender conceptos tales como infinito, números reales o, en general, conceptos continuos , de una manera similar a la que Flatlanders no entiende el mundo tridimensional. Eche también un vistazo al libro Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the 10th Dimension (1994), de Michio Kaku, que analiza estos temas con más detalle. Por supuesto, en esta respuesta, el concepto de comprensión no está rigurosamente definido, sino solo intuitivamente.

Entonces la premisa supone que los humanos "entienden" el infinito. ¿Hacemos?

Creo que primero necesitarías decirme qué criterio usarías, si quisieras saber si "entiendo" el infinito.

En el OP, se da la idea de que podría "probar" que "entiendo" el infinito, porque "En principio, si tenemos suficientes recursos (tiempo, etc.), podemos contar infinitamente muchas cosas (incluidos los abstractos, como los números o real)."

Bueno, eso simplemente no es cierto. Peor aún, si fuera cierto (que no lo es), entonces sería igualmente cierto para una computadora. Este es el por qué:

1. Sí, en principio puedes contar números enteros y ver que el conteo nunca termina.
2. Pero incluso si tuviera suficientes recursos, nunca podría "contar infinitamente muchas cosas". Siempre habrá más. Eso es lo que significa "infinito".
3. Peor aún, hay múltiples órdenes ("cardinalidades") de infinito. La mayoría de ellos, no puedes contar, incluso con tiempo infinito, y tal vez ni siquiera con infinitos recursos. En realidad son incontables. Literalmente no se pueden asignar a una línea numérica o al conjunto de enteros. No puede ordenarlos de tal manera que puedan contarse, incluso en principio.
4. Peor aún, ¿cómo haces esa parte en la que decides "en principio" qué puedo hacer, cuando claramente no puedo hacerlo, o incluso la parte más pequeña? Ese paso se siente como un supuesto laico, sin ver realmente los problemas al hacerlo rigurosamente. Puede que no sea trivial.
5. Por último, suponga que esta fue su prueba real, como en el OP. Entonces, si yo pudiera "en principio con suficientes recursos (tiempo, etc.) contar infinitamente muchas cosas", sería suficiente para usted decidir que "entendí" el infinito (lo que sea que eso signifique). Entonces también podría hacerlo una computadora con recursos suficientes (RAM, tiempo, algoritmo). Entonces, la prueba en sí misma sería satisfecha trivialmente por una computadora si le dieras a la computadora los mismos criterios.

Creo que tal vez una línea lógica más realista es que lo que realmente muestra esta pregunta es que la mayoría de los humanos (¿probablemente todos?) En realidad no entienden el infinito. Por lo tanto, comprender el infinito probablemente no sea una buena opción de prueba / requisito para la IA.

Si dudas de esto, pregúntate. ¿Honestamente, de verdad y en serio, "entiendes" cien billones de años (la posible vida de una estrella enana roja)? Como, ¿puedes realmente comprender cómo es experimentar cien billones de años o es solo un 1 con muchos ceros? ¿Qué tal un femtosegundo? ¿O un intervalo de tiempo de aproximadamente 10 ^ -42 segundos? ¿Realmente puedes "entender" eso? ¿Una escala de tiempo comparada con la cual, uno de sus latidos del corazón, se compara como uno de sus latidos se compara con mil millones de billones de veces la vida actual de este universo? ¿ Realmente puedes "entender el infinito", tú mismo? Vale la pena pensar en ......

Al agregar algunas reglas para el infinito en aritmética (como infinito menos un número finito grande es infinito, etc.), la computadora digital puede parecer que comprende la noción de infinito.

Alternativamente, la computadora puede simplemente reemplazar el número n con su valor de estrella de registro . Luego, puede diferenciar los números en una escala diferente, y puede aprender que cualquier número con valor de estrella de registro> 10 es prácticamente equivalente al infinito.

Creo que el concepto que falta en la discusión, hasta ahora, es la representación simbólica. Los humanos representamos y entendemos muchos conceptos simbólicamente. El concepto de Infinito es un gran ejemplo de esto. Pi es otro, junto con algunos otros números irracionales bien conocidos. Hay muchos, muchos otros.

Tal como están las cosas, podemos representar y presentar fácilmente estos valores y conceptos, tanto a otros humanos como a computadoras, usando símbolos. Tanto las computadoras como los humanos pueden manipular y razonar con estos símbolos. Por ejemplo, las computadoras han estado realizando pruebas matemáticas durante algunas décadas. Asimismo, existen programas comerciales y / o de código abierto que pueden manipular ecuaciones simbólicamente para resolver problemas del mundo real.

Entonces, como ha razonado @JohnDoucette, no hay nada especial sobre Infinity frente a muchos otros conceptos en matemáticas y aritmética. Cuando golpeamos ese muro de ladrillo representativo, simplemente definimos un símbolo que representa "eso" y avanzamos.

Tenga en cuenta que el concepto de infinito tiene muchos usos prácticos. Cada vez que tiene una razón y el denominador "va a" cero, el valor de la expresión "se aproxima" al infinito. Esto no es una cosa rara, de verdad. Entonces, si bien una persona promedio en la calle no está familiarizada con estas ideas, muchos científicos, ingenieros, matemáticos y programadores sí lo están. Es bastante común que el software haya estado tratando con Infinity simbólicamente durante un par de décadas, al menos ahora. Por ejemplo, Mathematica: http://mathworld.wolfram.com/Infinity.html

Una máquina de Turing es el principal modelo matemático de computación de las computadoras digitales modernas. Una máquina de Turing se define como un objeto que manipula símbolos, de acuerdo con ciertas reglas (que representan el programa que ejecuta la máquina de Turing), en una cinta infinita que se subdivide en celdas discretas. Por lo tanto, una máquina de Turing es un sistema de manipulación de símbolos que, dada una determinada entrada, produce una determinada salida o no se detiene .

Si supone que la comprensión es equivalente a la manipulación de símbolos , una máquina de Turing es capaz de comprender muchos conceptos, aunque la dificultad de comprender cada uno de estos conceptos es variable, con respecto al tiempo y al espacio. (La rama de la informática teórica (TCS) que estudia la dificultad de ciertos problemas computacionales se llama teoría de la complejidad computacional . La rama de TCS que estudia la computabilidad de ciertos problemas se llama teoría de la computabilidad ).

$\mathbb{r}$$\mathbb{r}$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\mathbb{r}} = \infty$

Esto prueba que una máquina de Turing no puede manipular el concepto de infinito en todos los casos posibles, porque una máquina de Turing nunca puede experimentar ciertos números reales. Sin embargo, una máquina de Turing puede ser capaz de manipular el concepto de infinito en muchos casos (que implican conjuntos contables ), por lo que una máquina de Turing puede tener una comprensión parcial del concepto de infinito, siempre que esa comprensión sea equivalente a la manipulación de símbolos.

Las computadoras no entienden "infinito" o incluso "cero", al igual que un destornillador no entiende los tornillos. Es una herramienta hecha para procesar señales binarias.

De hecho, el equivalente de una computadora en software no es una persona sino un cerebro. Los cerebros no piensan, las personas sí. El cerebro es solo la plataforma con la que se implementan las personas. Es un error algo común combinar los dos, ya que su conexión tiende a ser bastante inseparable.

Si quisiera asignar comprensión, al menos tendría que pasar a programas reales en lugar de computadoras. Los programas pueden o no tener representaciones para cero o infinito, y pueden o no ser capaces de hacer manipulaciones hábiles de ambos. La mayoría de los programas matemáticos simbólicos funcionan mejor aquí que alguien a quien se requiere trabajar con las matemáticas como parte de su trabajo.

La respuesta de John Doucette cubre mis pensamientos sobre esto bastante bien, pero pensé que un ejemplo concreto podría ser interesante. Trabajo en una IA simbólica llamada Cyc, que representa conceptos como una red de predicados lógicos. A menudo nos gusta alardear de que Cyc "entiende" las cosas porque puede dilucidar las relaciones lógicas entre ellas. Sabe, por ejemplo, que a las personas no les gusta pagar sus impuestos, porque pagar impuestos implica perder dinero y las personas generalmente son reacias a eso. En realidad, creo que la mayoría de los filósofos estarían de acuerdo en que esta es una "comprensión" incompleta del mundo en el mejor de los casos. Puede que Cyc conozca todas las reglas que describen a las personas, los impuestos y el descontento, pero no tiene experiencia real con ninguno de ellos.

En el caso del infinito, sin embargo, ¿qué más hay para entender? Yo diría que, como concepto matemático, el infinito no tiene realidad más allá de su descripción lógica. Si puede aplicar correctamente todas las reglas que describen el infinito, ha asimilado el infinito. Si hay algo que una IA como Cyc no puede representar, tal vez sea la reacción emocional que tales conceptos tienden a provocarnos. Debido a que vivimos vidas reales, podemos relacionar conceptos abstractos como el infinito con conceptos concretos como la mortalidad. Tal vez es esa contextualización emocional lo que hace que parezca que hay algo más que "entender" sobre el concepto.

Las preguntas que las computadoras nunca pueden responder - Wired (revista)

Es posible que las computadoras no puedan alcanzar el infinito en absoluto: < https://www.nature.com/articles/35023282 >, no importa realmente entenderlo.

La computación y las computadoras tienen implicaciones para los "límites duros de los sistemas".

( https://en.wikipedia.org/wiki/Limits_of_computation )

Pensaría que una computadora no puede entender el infinito principalmente porque los sistemas y las partes de un sistema que manejan la computadora son finitos.

El "concepto" de infinito es una cosa para entender. Puedo representarlo con 1 símbolo (∞).

Como mencioné antes, los humanos entienden el infinito porque son capaces, al menos, de contar enteros infinitos, en principio.

Según esta definición, los humanos no entienden el infinito. Los humanos no son capaces de contar enteros infinitos. Morirán (se quedarán sin recursos informáticos / potencia) en algún momento. De hecho, probablemente sería más fácil hacer que una computadora cuente hacia el infinito que lograr que un humano lo haga.

Solo alimento para el pensamiento: ¿qué tal si intentamos programar el infinito no en términos teóricos, sino prácticos? Por lo tanto, si consideramos algo que una computadora no puede calcular, dados sus recursos como infinito, cumpliría el propósito. Programáticamente, se puede implementar de la siguiente manera: si la entrada es menor que la memoria disponible, no es infinito. Posteriormente, el infinito se puede definir como algo que devuelve un error de falta de memoria en un intento de evaluación.

Es discutible si los humanos entendemos el infinito. Simplemente creamos un nuevo concepto para reemplazar las viejas matemáticas cuando nos encontramos con este problema. En la división por máquina infinita podemos entenderlo de la misma manera que nosotros:

double* xd = new double;
*xd =...;
if (*xd/y<0.00...1){
int* xi = new int;
*xi = (double) (*xd);
delete xd;

Si el ser humano piensa en el infinito, imagina un número enorme en su contexto actual. Entonces, el algoritmo clave para escribir es encontrar una escala con la que AI esté trabajando actualmente. Y, por cierto, este problema debe resolverse hace años. Las personas que diseñan flotante / doble deben haber sido conscientes de lo que estaban haciendo. Mover el signo de exponenta es una operación lineal en doble.

Bueno, solo para tocar la cuestión de las personas y el infinito, mi padre ha sido matemático durante 60 años. Durante todo este tiempo, ha sido el tipo de geek que prefiere hablar y pensar sobre su tema sobre casi cualquier otra cosa. Él ama el infinito y me lo enseñó desde muy joven. Me presentaron por primera vez al cálculo en quinto grado (no es que haya causado una gran impresión). Le encanta enseñar, y en un abrir y cerrar de ojos, se lanzará a una conferencia sobre cualquier tipo de matemática. Solo pregunta.

De hecho, diría que hay pocas cosas con las que está más familiarizado que el infinito ... ¿la cara de mi madre, tal vez? No contaría con eso. Si un humano puede entender algo, mi padre comprende el infinito.

Los humanos ciertamente no entienden el infinito. Actualmente las computadoras no pueden entender cosas que los humanos no pueden porque las computadoras están programadas por humanos. En un futuro distópico, ese puede no ser el caso.

Aquí hay algunos pensamientos sobre el infinito. El conjunto de números naturales es infinate. También se ha demostrado que el conjunto de números primos, que es un subconjunto de los números naturales, también es infinado. Entonces tenemos un conjunto de infinado dentro de un conjunto de infinado. Se pone peor, entre 2 números reales hay un número infinito de números reales. Eche un vistazo al enlace a la paradoja de Hilbert del Grand Hotel para ver cuán confuso puede ser el infinito: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel

Creo que la propiedad que tienen los humanos que las computadoras no tienen, es una especie de proceso paralelo que se ejecuta junto con todo lo que están pensando e intenta asignar una evaluación de ponderación de importancia a todo lo que está haciendo. Si le pide a una computadora que ejecute el programa: A = 1; HACER HASTA (A <0) a = a + 1; FIN;

La computadora lo hará. Si le preguntas a un humano, otro proceso interviene con "Estoy aburrido ahora ... esto está tomando años ... Voy a comenzar un nuevo proceso paralelo para examinar el problema, proyectar dónde está la respuesta y buscar un ruta más rápida a la respuesta ... Luego descubrimos que estamos atrapados en un bucle infinito que nunca será "resuelto" ... e interponemos una interrupción que señala el problema, mata el proceso aburrido y va a buscar una taza de té. :-) Lo siento si eso no ayuda.